Introduction
(TODO) 선형대수가 생소한데 번역도 매끄럽지가 않다. 완독을 하고 추후 다시 다듬자.
Introduction
벡터와 행렬 표현(TODO)
벡터
정의
- 전통적인 벡터 = 필드 원소들(field elements)의 나열(sequence)
- 파이썬에서의 벡터 = 유한 집합 D를 필드로 맵핑하는 함수로 표현
예
- 정보 검색 분야
- 전동적으로 문서를 벡터로 표현
- 벡터는 문서 내 각 단어가 몇 번 나타나는지 그 횟수를 명시
영어 단어의 정의역 D에서실수 집합으로의 함수로 정의
행렬
정의
- 벡터 = 크키와 방향 모두를 가지는 것
- 전통적인 행렬 = 2차원 배열 똔느 필드 원소의 격자(grid)로 표현
- 이 책에서의 행렬 = 두 유한 집학의 카테시안 곱 R X C에서 필드로의 함수(TODO ?)로도 표현
예
- 1024 x 767 크기의 흑백 사진
- \[\text{벡터는 \textquotedblleft정의역 } D = \{1,\dotsc,1024\}\times\{1,\dotsc,768\}\text{ 에서 실수로의 함수\textquotedblright로 정의}\]
- 이 함수는 각 픽셀 (i, j)에 대해 그 픽셀의 이미지 밝기를 명시
근본적인 질문(TODO)
- 선형시스템에 대한 해가 유일한지 어떻게 알 수 있는가?
- GF(2)상의 선형 시스템에 대한 해의 개수를 어떻게 찾을 수 있는가?
- 벡터들의 집합 V가 벡터 v1,….,vn들의 생성(span)과 동일한지 어떻게 알 수 있는가?
- 선형방정식들의 시스템은 어떤 다른 선형방정식들을 의미하는가?
- 행렬이 가역적인지 어떻게 알 수 있는가?
- 모든 베턱공간이 동차 선형시스템의 해집합으로 표현될 수 있난드?
근본적인 계산 문제(TODO)
- \[\text{행렬 방정식 } Mx = b\text{에 대한 해를 구하는 것}\]
- \[Mx\text{와} b\text{ 사이의 거리를 최소화하는 벡터}x\text{를 구하는 것}\]
- 주어진 벡터 b에 대해, b에 가장 가까운 벡터를 찾는 것. 이 벡터를 주어진 기저로 표현한 것은 k-스파스(sparse)이다
- \[\text{행렬 부등식} Mx \le b \text{에 대한 해를 구하는 것}\]
- 주어진 행렬 M에 대해, M에 가장 가까운 행렬을 구하는 것. 이 행렬의 랭크는 최대 k이다
다중 표현
- 가장 중요한 주제는
동일한 객체를 다수의 상이한 표현을 사용하여 나타내는 것- 생성자(generator) 또는 동차 선형방정식들에 의한 벡터공간 표현하기
- 동일한 벡터공간에 대한 상이한 기저
- 벡터 또는 행렬을 나타내는 데 사용되는 상이한 자료 구조
- 상이한 행렬 분해
복수의 필드
- 선형대수 개념의 일반화 보여주고, 더 넓은 응용 범위 다루기 위해 세 개의 필드
실수,복소수,유한 필드 GF(2)에 대해 알아본다- 실수:
- 대부분의 예에서 사용
- 복소수:
- 벡터 다루기 위한 준비.
- 벡터는 평면 위의 점들과 이들의 변환을 나타내는 데 사용 가능
- 유한 푸리에(Fourier) 변환과 고유값에 대해 살펴보는 데서 다뤄진다
- 유한 필드 GF(2)
- 암호화 인증
- 체크섬(checksum)
- 네트워크 코딩
- 비밀 공유
- 에러 수정 코드 등과 같은 정보에 연관된 많은 응용 분야에서 사용
- 실수:
- 내적 공간의 개념을 보여주는 데 도움이 된다
- 실수: 실수상의 벡터에 대한 내적은 매우 간단하다
- 복소수: 벡터에 대한 내적은 약간 더 복잡
- 유한 필드: 내적은 없다